数学概念

非常粗略地，按重要性依次为：公理（axiom），定理（theorem），命题（proposition），引理（lemma），推论（corollary）。但实际上其中定理和引理的区别非常晦涩，按照wikipedia的说法：

A lemma is a "pre-theorem", a statement that forms part of the proof of a larger theorem. The distinction between theorems and lemmas is rather arbitrary,...

而命题本身就是一类“简单”的、显而易见的、容易被证明的定理。另外一人的论述：

定义就是规定意义，相当于取名字，定理就是根据定义和公理推导演绎出来的命题。公理就是人们通过实际生活观察到的一些人们共同赞同的但又无法证明的。差别在于：定义不可证明，而定理一定是经过了证明的！

数学就是在定义和公理（经验的总结，不需证明，如过两点可画一条直线）基础上，演绎出的一整套定理组成的逻辑体系（演绎的过程就是证明定理）。

首先，定义和公理是任何理论的基础，定义解决了概念的范畴，公理使得理论能够被人的理性所接受。

其次，定理和命题就是在定义和公理的基础上通过理性的加工使得理论的再延伸，它们的区别主要在于，定理的理论高度比命题高些，定理主要是描述各定义（范畴）间的逻辑关系，命题一般描述的是某种对应关系（非范畴性的）。而推论就是某一定理的附属品，是该定理的简单应用。

最后，引理就是在证明某一定理时所必须用到的其它定理。而在一般情况下，就像前面所提到的定理的证明是依赖于定义和公理的。

自我标榜科学之完美体现的数学，其体系严密程度也不过尔尔。